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Potenciação e Notação Científica

1. Introdução

Muitos julgam a matemática como sendo a vilã de todos os males, porém não é bem assim que funciona. Um belo exemplo de que a matemática está a nosso favor é a POTENCIAÇÃO. Por que a potenciação? Vejamos:

Imagine ter que multiplicar 10 vezes o número 5. Observe como ficaria:

5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5

Uma notação imensa, né? Porém, com o auxilio da matemática podemos simplificar ao máximo essa notação. Vejamos:

5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 510  = 9 765 625

Concluímos que aquela notação imensa, em que antes escrevíamos, pode ser reduzida a  510  . Onde:

 • 5 é a base     • 10 é o expoente       • 9 765 625 é a potência

Portanto, uma multiplicação de fatores iguais chama-se POTENCIAÇÃO e pode ser escrita de maneira simplificada, como vimos acima.

2. Nomenclatura

As potências com expoente 2 e com expoente 3 recebem nomes especiais.

O expoente 2 é chamado de quadrado e o expoente 3 é chamado de cubo.

Ex: 2² lê-se dois ao quadrado ou o quadrado de dois

      3² lê-se três ao quadrado ou o quadrado de três

      5² lê-se cinco ao quadrado ou o quadrado de cinco

      2³ lê-se dois ao cubo ou o cubo de dois

      3³ lê-se três ao cubo ou o cubo de três

      4³ lê-se quatro ao cubo ou o cubo de quatro

Os demais expoentes como 4,5,6,….., e assim por diante, recebem a seguinte relação:

Ex: 44 lê-se quatro elevado a quarta potência

      5lê-se cinco elevado a sexta potência

     510 lê-se cinco elevado a décima potência


3. O Expoente 0 e o Expoente 1

Vimos que na potenciação, o expoente indica o número de fatores iguais da multiplicação. Por isso, é estranho pensar em:

 • expoente 1 → só um fator na multiplicação?!??

 • expoente 0 → nenhum fator na multiplicação?!??

No entanto, para que outros fatos ligados a potenciação funcionassem bem, os matemáticos precisavam determinar o que aconteceria quando esses números aparecessem no expoente.

Eles observaram padrões que ocorriam nas potencias:

25  = 32 ↓ : 2

24 = 16 ↓: 2

2³ = 8   ↓: 2

2² = 4   ↓: 2

Para manter o padrão deveriam ter:

2¹ = 2 ↓ : 2

20 = 1 

Como isso ocorria também com outras bases, ficou resolvido que:

• se a é um número, então a¹ = a 

• se a é um número diferente de zero, então a = 1

Ex: 2¹ = 2

     4¹ = 4

     525¹ = 525

     20 = 1

     5250 = 1

     60 = 1

Portanto, podemos concluir que todo número elevado a um terá como resultado a sua base (a¹ = a) e todo número elevado a zero é igual a um (a0 = 1), se sua base for diferente de zero.

4. Potenciação com base negativa

Quando a base é um número negativo, a potência pode ser um número positivo ou negativo. Observe:

(-2)¹  = -2

(-2)²  = 4

(-2)³  = -8

(-2)4  = 16

Com base nos exemplos acima, podemos concluir que: Se o expoente é impar a potência será negativa e se o expoente é par a potência será positiva.

IMPORTANTE!!

Colocamos bases negativas entre parênteses:

(-7)² = 49

Se não colocarmos a base entre parênteses, o sinal negativo será do resultado da potenciação:

-7² = -49

Por que isso acontece?

Sem o parênteses, entendemos que não estamos elevando ao quadrado o sinal negativo, e sim a base pura. Pegando o exemplo acima, só estou elevando ao quadrado o número 7 e não o sinal.

5. Potenciação com expoente negativo

                             X -n =   1   

                                         X n 

O expoente negativo indica inversão, o número que está no denominador vai para o numerador e o que está no numerador vai para o denominador, ou seja, o que está em cima vai pra baixo e o que está em baixo vai pra cima. Observe:

-2 =   1   =   1  

             3²       9

2 -4 =   1     1  

           2      16

5 -3 =  1    =    1   

           5³        125

6. Propriedades das Potências – Potenciação de Mesma Base

Como disse lá na introdução, a potenciação vem para nos auxiliar nos cálculos que a nosso ver aparentam ser muito trabalhosos, porém com o auxilio da potenciação podemos concluir que não é tão trabalhoso assim.

A potenciação de mesma base (base iguais) nos auxiliam nas operações trabalhosas. Vejamos o exemplo abaixo:

                                           97 . 95 : 910 

A nosso ver, seria um absurdo calcular essa expressão sem o auxilio de uma calculadora, porém a potenciação nos traz algumas relações para esses casos. Vejamos:

a m. a n = a m + n  

a m : a n = a m – n  

(am)= a m . n 

(a . b )= a m . b m

(a : b )= a m : b m

Vamos resolver a expressão acima:

 97 . 95 : 910  = 9¹² : 910 = 9² = 81

Simples e fácil, observe que aquela expressão em que nos daria um inúmero trabalho, com o auxilio da potenciação ficou mais fácil.

Obs:  

• Quando se tiver base iguais e as bases estão multiplicando, somamos os expoentes;

• Quando se tiver base iguais e as bases estão dividindo, subtraímos os expoentes.

7. Potências de Base 10

100 = 1

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1 000

104 = 10 000

105  = 100 000

10 –¹  =   1   =   1  = 0,1

            10¹      10

10 -2 =   1     1  = 0,01

            102    100

10 -3 =  1    =    1     = 0,001

           10³      1 000

8. Multiplicação por Potências de Base 10

Ex.:

0,321 . 10 = 3,21 → multiplicamos por 10: a virgula se desloca 1 casa para a direita.

0,321 . 10² = 32,1 → multiplicamos por 100: a vírgula se desloca 2 casas para a direita.

0,321 . 10³ = 321 → multiplicamos por 1000: a vírgula se desloca 3 casas para a direita.


Podemos observar que quando multiplicamos um número decimal por 10, 10², 10³, …, a vírgula se desloca para a direita o número de casas indicado no expoente.

56,4 . 10 –¹ = 5,64 → a vírgula se desloca uma casa para a esquerda.

56,4 . 10 -2 = 0,564 → a vírgula se desloca duas casas para a esquerda.

56,4 . 10 -3 = 0,0564 → a vírgula se desloca três casas para a esquerda.


Podemos observar que quando multiplicamos um número decimal por 10 –¹,10 -2,10 -3,  …, a vírgula se desloca para a esquerda o número de casas indicado no expoente, ou dividimos pelo valor indicado.

9. Notação Científica

Os cientistas em suas experiências e estudos lidam com muitas medidas. Tais medidas apresentam muitos algarismos. Porém, usando a potência de base 10, podemos registrá-las de modo mais simples, evitando erros.

Lembrando, que notação científica o valor que é multiplicado pela base 10, tem que está no intervalo de [1 ; 10[, ou seja, não pode ser um número inteiro maior que 9.

Vejamos:

A distância da terra ao sol é de 149 000 000 000 m., em notação cientifica ficaria 1,49 . 10¹¹ m

Por que a base 10 fica elevado a decima primeira potência e não a nona potência?

Porque, não é permitido um número inteiro maior do que 9 em notação científica, então tivemos que andar 2 casas para a esquerda, com isso foi acrescido duas casas a mais na base 10.

Ex:

• A espessura de uma fibra nervosa de nosso corpo, responsável por transmitir sensações como a do tato, é de 0,000008 m. Em notação científica ficaria 8 . 106 m.

• A velocidade da luz: 300 000 km/s = 3. 105 km/s

• Ano-luz (distância que a luz percorre em um ano): 9 460 000 000 000 km = 9,46 . 10¹² km

• Massa do próton: 0,00000000000000000000000167 g = 1,67 . 1024 g

Lembre-se: Se há valor depois da virgula, eles contam também para o acréscimo no expoente da base 10.

 

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