1. Introdução
Muitos julgam a matemática como sendo a vilã de todos os males, porém não é bem assim que funciona. Um belo exemplo de que a matemática está a nosso favor é a POTENCIAÇÃO. Por que a potenciação? Vejamos:
Imagine ter que multiplicar 10 vezes o número 5. Observe como ficaria:
5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Uma notação imensa, né? Porém, com o auxilio da matemática podemos simplificar ao máximo essa notação. Vejamos:
5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 510 = 9 765 625
Concluímos que aquela notação imensa, em que antes escrevíamos, pode ser reduzida a 510 . Onde:
• 5 é a base • 10 é o expoente • 9 765 625 é a potência
Portanto, uma multiplicação de fatores iguais chama-se POTENCIAÇÃO e pode ser escrita de maneira simplificada, como vimos acima.
2. Nomenclatura
As potências com expoente 2 e com expoente 3 recebem nomes especiais.
O expoente 2 é chamado de quadrado e o expoente 3 é chamado de cubo.
Ex: 2² lê-se dois ao quadrado ou o quadrado de dois
3² lê-se três ao quadrado ou o quadrado de três
5² lê-se cinco ao quadrado ou o quadrado de cinco
2³ lê-se dois ao cubo ou o cubo de dois
3³ lê-se três ao cubo ou o cubo de três
4³ lê-se quatro ao cubo ou o cubo de quatro
Os demais expoentes como 4,5,6,….., e assim por diante, recebem a seguinte relação:
Ex: 44 lê-se quatro elevado a quarta potência
56 lê-se cinco elevado a sexta potência
510 lê-se cinco elevado a décima potência
3. O Expoente 0 e o Expoente 1
Vimos que na potenciação, o expoente indica o número de fatores iguais da multiplicação. Por isso, é estranho pensar em:
• expoente 1 → só um fator na multiplicação?!??
• expoente 0 → nenhum fator na multiplicação?!??
No entanto, para que outros fatos ligados a potenciação funcionassem bem, os matemáticos precisavam determinar o que aconteceria quando esses números aparecessem no expoente.
Eles observaram padrões que ocorriam nas potencias:
25 = 32 ↓ : 2
24 = 16 ↓: 2
2³ = 8 ↓: 2
2² = 4 ↓: 2
Para manter o padrão deveriam ter:
2¹ = 2 ↓ : 2
20 = 1
Como isso ocorria também com outras bases, ficou resolvido que:
• se a é um número, então a¹ = a
• se a é um número diferente de zero, então a0 = 1
Ex: 2¹ = 2
4¹ = 4
525¹ = 525
20 = 1
5250 = 1
60 = 1
Portanto, podemos concluir que todo número elevado a um terá como resultado a sua base (a¹ = a) e todo número elevado a zero é igual a um (a0 = 1), se sua base for diferente de zero.
4. Potenciação com base negativa
Quando a base é um número negativo, a potência pode ser um número positivo ou negativo. Observe:
(-2)¹ = -2
(-2)² = 4
(-2)³ = -8
(-2)4 = 16
Com base nos exemplos acima, podemos concluir que: Se o expoente é impar a potência será negativa e se o expoente é par a potência será positiva.
IMPORTANTE!!
Colocamos bases negativas entre parênteses:
(-7)² = 49
Se não colocarmos a base entre parênteses, o sinal negativo será do resultado da potenciação:
-7² = -49
Por que isso acontece?
Sem o parênteses, entendemos que não estamos elevando ao quadrado o sinal negativo, e sim a base pura. Pegando o exemplo acima, só estou elevando ao quadrado o número 7 e não o sinal.
5. Potenciação com expoente negativo
X -n = 1
X n
O expoente negativo indica inversão, o número que está no denominador vai para o numerador e o que está no numerador vai para o denominador, ou seja, o que está em cima vai pra baixo e o que está em baixo vai pra cima. Observe:
3 -2 = 1 = 1
3² 9
2 -4 = 1 = 1
24 16
5 -3 = 1 = 1
5³ 125
6. Propriedades das Potências – Potenciação de Mesma Base
Como disse lá na introdução, a potenciação vem para nos auxiliar nos cálculos que a nosso ver aparentam ser muito trabalhosos, porém com o auxilio da potenciação podemos concluir que não é tão trabalhoso assim.
A potenciação de mesma base (base iguais) nos auxiliam nas operações trabalhosas. Vejamos o exemplo abaixo:
97 . 95 : 910
A nosso ver, seria um absurdo calcular essa expressão sem o auxilio de uma calculadora, porém a potenciação nos traz algumas relações para esses casos. Vejamos:
a m. a n = a m + n
a m : a n = a m – n
(am)n = a m . n
(a . b )m = a m . b m
(a : b )m = a m : b m
Vamos resolver a expressão acima:
97 . 95 : 910 = 9¹² : 910 = 9² = 81
Simples e fácil, observe que aquela expressão em que nos daria um inúmero trabalho, com o auxilio da potenciação ficou mais fácil.
Obs:
• Quando se tiver base iguais e as bases estão multiplicando, somamos os expoentes;
• Quando se tiver base iguais e as bases estão dividindo, subtraímos os expoentes.
7. Potências de Base 10
100 = 1
10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1 000
104 = 10 000
105 = 100 000
10 –¹ = 1 = 1 = 0,1
10¹ 10
10 -2 = 1 = 1 = 0,01
102 100
10 -3 = 1 = 1 = 0,001
10³ 1 000
8. Multiplicação por Potências de Base 10
Ex.:
0,321 . 10 = 3,21 → multiplicamos por 10: a virgula se desloca 1 casa para a direita.
0,321 . 10² = 32,1 → multiplicamos por 100: a vírgula se desloca 2 casas para a direita.
0,321 . 10³ = 321 → multiplicamos por 1000: a vírgula se desloca 3 casas para a direita.
Podemos observar que quando multiplicamos um número decimal por 10, 10², 10³, …, a vírgula se desloca para a direita o número de casas indicado no expoente.
56,4 . 10 –¹ = 5,64 → a vírgula se desloca uma casa para a esquerda.
56,4 . 10 -2 = 0,564 → a vírgula se desloca duas casas para a esquerda.
56,4 . 10 -3 = 0,0564 → a vírgula se desloca três casas para a esquerda.
Podemos observar que quando multiplicamos um número decimal por 10 –¹,10 -2,10 -3, …, a vírgula se desloca para a esquerda o número de casas indicado no expoente, ou dividimos pelo valor indicado.
9. Notação Científica
Os cientistas em suas experiências e estudos lidam com muitas medidas. Tais medidas apresentam muitos algarismos. Porém, usando a potência de base 10, podemos registrá-las de modo mais simples, evitando erros.
Lembrando, que notação científica o valor que é multiplicado pela base 10, tem que está no intervalo de [1 ; 10[, ou seja, não pode ser um número inteiro maior que 9.
Vejamos:
A distância da terra ao sol é de 149 000 000 000 m., em notação cientifica ficaria 1,49 . 10¹¹ m
Por que a base 10 fica elevado a decima primeira potência e não a nona potência?
Porque, não é permitido um número inteiro maior do que 9 em notação científica, então tivemos que andar 2 casas para a esquerda, com isso foi acrescido duas casas a mais na base 10.
Ex:
• A espessura de uma fibra nervosa de nosso corpo, responsável por transmitir sensações como a do tato, é de 0,000008 m. Em notação científica ficaria 8 . 106 m.
• A velocidade da luz: 300 000 km/s = 3. 105 km/s
• Ano-luz (distância que a luz percorre em um ano): 9 460 000 000 000 km = 9,46 . 10¹² km
• Massa do próton: 0,00000000000000000000000167 g = 1,67 . 1024 g
Lembre-se: Se há valor depois da virgula, eles contam também para o acréscimo no expoente da base 10.
